明敏 克雷西 发自 凹非寺量子位 | 公众号 QbitAI成人动漫

9位数学家、横跨30余年、5篇论文盘算推算800+页……

几何朗兰兹推断，终于被讲明！

它是朗兰兹撮要的几何化版块。

朗兰兹撮要被视为当代数学估量中最大的单项技俩，被称为“数学的大长入表面”。它建议数论、代数几何、群示意论这三个落寞发展的数学分支之间其实密切关系。

费马大定理被填塞讲明，就收获于对朗兰兹撮要的应用。安德鲁·威尔斯（Andrew Wiles）对一小部分函数的数论朗兰兹的关系的讲明，就贬责了困扰数学界300年的贫窭。

几何朗兰兹推断行为朗兰兹撮要的几何版块，在上世纪80年代被建议。它提供了一种将数论步履和看法应用于几何问题（反之亦树立）的框架。

诈欺该推断，不错为数学、物理范围诸多悬而未决的问题提供新念念路和器用。比如不错应用于量子场论和弦表面估量。

因此，当几何朗兰兹推断被讲明，无疑会触动数学界。

主要估量朗兰兹撮要的菲尔兹奖得主彼得·舒尔茨（Peter Scholze）将这一最新恶果评价为“30年勤勉的巅峰”。

看到它能被贬责简直太好了！

几何朗兰兹撮要创举东说念主之一亚历山大·贝林森（Alexander Beilinson）也示意：

这个讲明简直十分美艳，是同类中最佳的。

该估量由丹尼斯·盖茨戈里（Dennis Gaitsgory）和山姆·拉斯金（Sam Raskin）教导完成。

9东说念主团队中，还包括中国粹者陈麟。

他是清华大学丘成桐数学科学中心助理讲明，曾在15岁时摘得IMO金牌。

几何，朗兰兹撮要的临了一环

朗兰兹撮要的建议在1967年。

30岁的普林斯顿大学讲明罗伯特·朗兰兹（Robert Langlands）给“数学的罗塞塔石碑”创举东说念主安德烈·韦尔 (André Weil) 寄去了一封长达17页的手写信，信中向发达了他的愿景。

（这里的“罗塞塔石碑”是一种譬如，指的是由数学家André Weil建议的一个数学范围之间的类比，这个类比把数论、几何学和函数域这三个看似不同的数学范围酌量在了沿路。）

朗兰兹写说念，在“罗塞塔石碑”的数论和函数域中，有可能创建出傅里叶分析的实践。

傅里叶分析是一种将复杂波形示意为平滑悠扬三角函数波的框架，是当代电信、信号处理、磁共振成像以及许多当代糊口的基本技能。

雷同于傅里叶分析中函数与其傅里叶变换之间的关系，朗兰兹撮要通过在这三个范围中栽种雷同的“对应关系”将它们酌量起来。

傅里叶变换在波和频谱之间往返调度，朗兰兹撮要当中也有相应的“波”和“频谱”。

其中“波”的一面由某些出奇函数组成，“频谱”的一面则由某些代数对象组成，用以记号“波”的频率：

在数论中，函数是界说在p-adic数域或者阿德尔环上的出奇函数，代数对象是Galois群或者与之关系的群的示意；在几何中，函数是界说在黎曼曲面上的特征层(D-模)，代数对象是黎曼曲面基本群在某个代数群G上的示意；在函数域中，函数是界说在弧线上的出奇函数，代数对象是Galois群或者与之关系的群的示意。

因此，朗兰兹撮要提供了一个长入的视角，将数论、几何、函数域这三个数学分支酌量起来，并由此带来了一系列长远而庸碌的数学问题和推断。

通过朗兰兹撮要的框架，许多传统数论中的贫窭不错转念为示意论或其他范围中的问题，从而以新的视角和器用加以贬责，朗兰兹撮要的念念想和步履在许多具体的数学问题中得到了应用。

举例，费马大定理的讲明就鉴戒了朗兰兹撮要中的念念想，将椭圆弧线和面貌式酌量起来，并最终通过这些酌量取得了到手。

除了数学自己，朗兰兹撮要对物理学等其他学科也起到了进攻作用，比如在量子场论和弦表面中，朗兰兹撮要的某些念念想和步履得到了应用。

其中，几何朗兰兹推断不仅领有更庸碌的应用和酌量，还提供了几何视角的庞大器用，因此在朗兰兹撮要中显得尤为进攻。

但几何朗兰兹推断讲明的历程也十分繁重，前后一共普及了普及30年，最终的讲明责任从2013年才驱动。

中枢的讲明内容，是对于黎曼曲面上的自不异性和对称性的深脉络对应关系。

再次借用傅里叶分析的模式来解释的话，等于数学家们很早就了解了几何朗兰兹推断的“频谱”一侧，但对“波”一侧的贯串则资格了漫长的经过。

以致在朗兰兹刚建议这一撮要的时辰，几何部分根底莫得被包括在内，直到80年代，数学家弗拉基米尔·德林费尔德（Vladimir Drinfeld）领略到，通过用特征层替换特征函数，有可能创建一个几何版块的朗兰兹对应关系。

而几何朗兰兹推断的精准表述，更是本世纪才出现——2012年，丹尼斯·盖茨戈里（Dennis Gaitsgory）与迪玛·阿林金（Dima Arinkin）沿路，用一篇150多页的论文给出了这一表述。

丹尼斯和阿林金指出，讲明几何朗兰兹推断的中枢念念想是找到一个等价关系，将代数弧线X上的G-丛（代数空间G上的纤维丛，其纤维是G的副本）的D-模（某些空间上的微分方程的解）范围与朗兰兹对偶群^的局部系统的Ind-Coh范围（包含了通盘Ind-上同调对象）酌量起来，即：

2013年，丹尼斯写下了几何朗兰兹推断讲明的草图，但这个草图依赖于许多尚未被讲明的中间截至，尔后的几年，丹尼斯和他的配合者竭力于讲明这些截至。

2020年，丹尼斯驱动念念考怎么贯串每个特征层对“白噪声”的孝顺，这一念念想自后成为讲明的关节部分。

这里的“白噪声”指的是集中朗兰兹推断中的庞加莱层（Poincaré sheaf），作家以此类比是基于傅里叶变换中的正弦波。

2022年春，山姆·拉斯金（Sam Raskin）和他的学生乔阿基姆·费尔格曼（Joakim Færgeman）讲明了每个特征层王人以某种样子孝顺于“白噪声”，这一截至让丹尼斯信服他们很快就能完成讲明。

从2023年起， 丹尼斯、山姆以偏执他7位配合者向几何朗兰兹推断发起了临了攻关，最终的讲明包含5篇论文，篇幅特出800页，并于本年发表。

第一篇对于函子（functor）的构造，需要在特征为零的环境下，从自守（automorphic）到谱标的构造几何朗兰兹函子LG并讲明其等价性，即大概在两个范围之间栽种逐一双应的关系。

淌若这一等价性大概得到讲明，那么就能证据几何朗兰兹推断树立。

第二篇估量了Kac-Moody定位与全局的相互作用，讲明了该函子在特定条款下如实是一个等价性函子，从而股东了几何朗兰兹推断的讲明。

第三篇起到了桥梁的作用，不仅将已知的等价性截至推广到了更一般的情况，况兼还通过Kac-Moody局部化技能，为贯串几何朗兰兹函子与常数项函子的兼容性提供了关节的洞见。

同期，通过讲明在可约谱参数下几何朗兰兹推断的兼容性，这一篇论文为进一步讲明不成约谱参数下的几何朗兰兹推断奠定了基础。

在第四篇论文中，作家们讲明了一个关节的定理——Ambidexterity定理。这个定理标明，LG-cusp（不错视为LG在一个特定的、更小的范围上的活动）的左伴善良右奉陪是同构的，这是讲明LG是一个等价性函子的进攻门径。

临了一篇论文则诈欺这一论断将推断实践到了一般情况，为旷日执久的讲明责任画上了句号。

两代数学家协力攻坚

估量团队由哈佛大学讲明丹尼斯·盖茨戈里（Dennis Gaitsgory）和耶鲁大学讲明山姆·拉斯金（Sam Raskin）领衔。

其余作家从左至右顺时针标的离别是：达里奥·贝拉尔多（Dario Beraldo）、陈麟（Lin Chen）、凯文·林（Kevin Lin）、尼克·罗森布吕姆（Nick Rozenblyum）、乔阿基姆·费尔格曼（Joakim Færgeman）、贾斯廷·坎贝尔（Justin Campbell）和迪玛·阿林金（Dima Arinkin）。

值得关切的是，估量小组包括中国粹者：陈麟。

陈麟，清华大学丘成桐数学科学中心助理讲明。2016在北京大学取得学士学位，2021年博士毕业于哈佛大学，曾荣获哈佛2020-2021优秀奖学金。

他曾在十几岁时就展现出超强的数学资质，12岁干涉中国数学奥林匹克（CMO）竞赛并获取满分，15岁干涉国度队并参加国外数学奥林匹克（IMO）竞赛取得金牌。

陈麟遥远估量几何朗兰兹撮要，他与该标的的结缘，恰是来自丹尼斯·盖茨戈里。

陈麟在此前采访中知晓，他是在丹尼斯的指挥下才干涉几何朗兰兹这一范围。博士之前，他险些对几何示意论一无所知，许多基础常识王人是在丹尼斯的指导放学习的。

博士毕业后，陈麟也一直参与丹尼斯和其他配合者的估量技俩，联系全局的范围化几何朗兰兹推断。

完成推断讲明以及论文撰写后，他还会不竭念念考对于局部几何朗兰兹的问题。

本色上，朗兰兹撮要诱骗着诸多中国数学学者。北大黄金一代中的恽之玮、张伟、袁新意、朱歆文，也正在攀高这一岑岭。

参考邻接：[1]https://www.quantamagazine.org/monumental-proof-settles-geometric-langlands-conjecture-20240719/[2]http://www.mathchina.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=2060061